El poliedro de la melancolía
Autoría: Alberto Donaire Rodríguez
En el grabado de Alberto Durero titulado “ Melancolía I”, un personaje alado mira apesadumbrado un objeto de forma poliédrica que representa el ideal del que toda realidad sería un torpe reflejo. En otras obras de la época con el mismo tema, como el cuadro de Lucas Cranach de 1525, la forma ideal es una esfera. Pero la precisa identidad del poliedro de Durero ha sido objeto de controversia entre los estudiosos, sin que haya habido hasta ahora respuesta concluyente. Incluso en un libro muy reciente, “La Proporción Áurea” de Mario Livio (Ariel, Madrid 2006), la duda persiste.
El libro de Livio, que contiene interesantes aportaciones originales sobre tema tan estudiado, desmonta con sencillez y claridad muchas de las alambicadas especulaciones surgidas históricamente en torno al número de oro. Pero en cuanto al grabado de Durero, tras afirmar con seguridad que el poliedro es un romboedro truncado, se limita a citar opiniones de otros: “Los ángulos en la cara del sólido también han sido objeto de debate. Mientras muchos sugieren 72 grados, que lo relacionaría con la Proporción Áurea, el cristalógrafo C.H. MacGillavry llegó a la conclusión, basándose en el análisis de la perspectiva, de que los ángulos son de 80 grados”. A mí me parece que una diferencia de ocho grados entre estas posiciones necesita alguna explicación, y voy a tratar de darla en estas páginas.
La perspectiva lineal fue el gran descubrimiento que permitió a los artistas del Renacimiento representar las formas en el espacio de un modo riguroso. La que emplea Durero, siguiendo los pasos de Brunelleschi, Alberti o Piero della Francesca, es la perspectiva central, con un único punto de fuga. En el grabado aplica sus reglas al trazado del poliedro y de la edificación de la derecha, mientras la balanza y la escalera de mano son figuras casi imposibles, y los demás objetos están encajados de manera sólo aproximada.
El bloque de piedra es, desde luego, un romboedro truncado.Pero, como se sabe, ésta no es una forma singular, sino la serie que se genera al estirar un cubo por dos vértices opuestos (fig. 1): al tirar de ellos, las caras cuadradas del cubo se convierten en rombos cada vez más alargados, y acaban fundiéndose en un segmento de recta. El ángulo agudo de los rombos, α, varía por tanto entre los 90º del cubo y los 0º del caso límite. Cuando vale 60º se tiene el llamado romboedro regular, cuyas caras se componen de dos triángulos equiláteros; con lo cual el sólido resulta ser la combinación de un octaedro y dos tetraedros regulares. En sentido contrario, el cubo se va achatando hasta degenerar en un hexágono plano para el valor α=120º. Al objeto de este trabajo, sólo interesa el otro tramo de la serie, el de los romboedros “agudos”.¿Y qué sentido tiene truncar dos vértices? Desde Platón y sus cinco poliedros regulares, y Arquímedes con los trece semi-irregulares, siempre se atribuyó la máxima perfección a la esfera y a las formas inscribibles en ella. Esta línea de pensamiento sigue vigente en el neoplatonismo renacentista, y está presente en la original propuesta de Durero de un romboedro truncado como forma ideal. Como la perfección del cubo se pierde en el romboedro, porque los dos vértices extremos se salen de la esfera que pasa por los otros seis (fig. 2), la inscriptibilidad se recobra cortándolas puntas “sobrantes”, con lo que todos los vértices vuelven a ser equidistantes del centro.
Así pues, a partir del cubo inicial los sucesivos romboedros van perdiendo una parte creciente de sus tercios extremos, que llegan a desaparecer completamente en el romboedro regular, reducido ahora a su octaedro central. Esta interesantísima secuencia de transformación del cubo en octaedro tiene lugar en el intervalo 90º≥α≥60º. Y, del mismo modo que el romboedro truncado se inscribe en la esfera, cada una de sus caras toca con sus vértices un círculo menor de la misma. Las dos bases son triángulos equiláteros. Y las seis caras laterales, pentagonales, tienen una propiedad interesante:dos de sus diagonales son siempre iguales a la diagonal menor del rombo, b, y las otras dos a la arista, a. (Fig. 3)
Del máximo interés para Durero, como luego veremos, es la sección del romboedro sombreada en la figura, que contiene dos aristas opuestas: el ángulo β que forman esas aristas con el eje principal está relacionado con el ángulo α por la fórmula
sen(α/2) = cos30ºsenβ[1]
Podemos también conocer la razón de la diagonal a la arista,b/a= 2sen(α/2), así como la posición del punto de truncadura, C, que es la intersección de la arista con la esfera circunscrita; la razón de la arista truncada a la completa sería : c/a= 2-3cos2β.
En la tabla siguiente figuran estos parámetros, calculados con las fórmulas anteriores para los extremos de la serie, el cubo y el octaedro,y para otros tres casos singulares intermedios.
Podemos también conocer la razón de la diagonal a la arista,b/a= 2sen(α/2), así como la posición del punto de truncadura, C, que es la intersección de la arista con la esfera circunscrita; la razón de la arista truncada a la completa sería : c/a= 2-3cos2β.En la tabla siguiente figuran estos parámetros, calculados con las fórmulas anterior es para los extremos de la serie, el cubo y el octaedro,y para otros tres casos singulares intermedios.
Figura α β b/a c/a
Octaedro 60º 35,2644º 1 0
α = 72º 72º 42,7434º 1,1756=√(3-Φ) 0,3820=1/Φ²
β = 45º 75,5225º 45º 1,2247=√6/2 0,5000=1/2
α ≈ 79º 78,9898º 47,2566º 1,2720=√(2Φ+1)/Φ 0,6180=1/Φ
Cubo 90º 54,7356º 1,4142=√2 1
Mientras α varía en un intervalo de 30º, β recorre poco más de 19º entre sus dos valores extremos, que son ángulos complementarios. En el centro de este intervalo, β=45º, se encuentra el caso particular en que las aristas se truncan por su punto medio (c=a/2), y los lados de las caras triangulares miden también la mitad, b/2, de la diagonal menor del rombo.
El protagonista de la tabla es desde luego el romboedro de 72º, que tantos partidarios tiene por su relación con el número Φ. Pero resulta que no es el único áureo: hay otro, del que quizá sea el primero en dar noticia, con α ≈79º. Los valores de β en uno y otro cuerpo son respectivamente 42,7434º y 47,2566º, una pareja de complementarios como los del cubo y el octaedro.Ocupan también por tanto posiciones simétricas en la serie de los romboedros truncados.
He dibujado los dos en la figura 4, anotando algunas de sus propiedades métricas relacionadas conΦ. La truncadura se sitúa en ambos con una partición áurea de la arista, pero puede verse que en el de 72º la simetría es más rica y compleja: todos los ángulos son múltiplos de 18º y las caras contienen dos puntas de una estrella decagonal.
El lector sabrá excusar la aridez de esta exposición, porque va a permitirnos luego un análisis más preciso. Este estudio de los romboedros truncados nos confirma que las propiedades áureas del de 72º justifican sobradamente la opinión de la mayoría de los investigadores: fue éste, desde luego, el elegido por Durero para representar la forma ideal. Esta opinión concuerda además con los datos históricos. En sus viajes a Italia, el alemán frecuentó a notables personalidades del humanismo renacentista, y recibió lecciones de geometría de Fra Luca Pacioli, el autor de “La Divina Proporción”. Si más tarde defendió insistentemente en sus escritos la importancia de la geometría y de las proporciones en el arte, no es de extrañar que quisiera mostrar en su grabado un cuerpo geométrico tan notable y tan estrechamente relacionado con el tema central de la obra de su maestro.
En realidad Durero, gran pintor y excepcional dibujante, no llegó a adquirir una sólida formación teórica en geometría: sus conocimientos proceden sobre todo de la tradición práctica de los oficios, como orfebre en el taller de su padre y luego como grabador en la imprenta de su paisano Wolgemut. Su fama de pintor le acompañaba cuando viajó a Italia, y a su vuelta a Nuremberg traía una aureola de intelectual y geómetra, conocedor de los secretos de la perspectiva. Pero leyendo su obra fundamental, Instrucciones para la Medida (Underweysung der Messung, 1525) se comprueba que la mayor parte de la geometría que maneja es la de los oficios, y que su conocimiento de la perspectiva se limita a unas nociones generales, incluso con algunos errores y contradicciones.
A pesar de esta limitación, Durero realizó un concienzudo estudio del poliedro. Empezaría seguramente por construirlo, siguiendo el antiguo procedimiento que él mismo recomienda en el libro IV de su Underweysung, el mismo que ya utilizara Arquímedes y que aún hoy divierte a nuestros escolares: dibujar el desarrollo de las caras del sólido y armarlo como un recortable. En el modelo estudiaría proporciones y ángulos, buscando el modo de ponerlo en perspectiva. Y descubriría que tal cosa es fácil a partir de la sección que hemos estudiado antes, que puede dibujarse fijando la longitud de la arista, y conociendo el valor de β, que puede medirse sobre el modelo. Dibujada pues la sección, con fijar un punto de fuga y otro de distancia la perspectiva surge casi por sí ensalmo.
Siguiendo el camino inverso, en la lámina que encabeza este texto he dibujado,sobre una copia exacta del grabado original de Durero, la construcción gráfica necesaria para restituir la perspectiva; es decir, para conocer la verdadera magnitud de los elementos que en ella aparecen fugados. Como la sección de partida está en posición frontal, el valor de βse puede calcular con bastante aproximación midiéndolos segmentos AM y BM,y de él puede deducirse el de α, aplicando la fórmula [1]:
tgβ= BM/AM= 1,0873, de donde β = 47,3942º y, según [1], α = 79,1993º
Así pues, la cruda realidad es que el ángulo α del poliedro del grabado no es 72º, sino un valor cercano a los 80º del análisis perspectivo de McGillavry. En la controversia sobre el ángulo, la balanza parece ahora inclinarse del lado del cristalógrafo, el único que, libre de prejuicios, se limitó a aplicar al grabado un método racional de análisis similar al que acabo de exponer. Pero yo creo que hay quedar un paso más: realmente, el valor al que más se acercan mis 79,1993º es el de los 78,9898º≈79º del segundo romboedro truncado áureo . MI error de medida es de sólo 0,21º=12’. Durero, creyendo que dibujaba el de 72º,estaba en verdad trazando el de 79º; cometió, pues, algún error que ha pasado inadvertido. ¿Cómo pudo ocurrir tal cosa?
El error resulta evidente al examinar con atención otro conocido dibujo suyo de la misma figura, anterior al grabado, que se conserva en la Biblioteca de Dresde (fig.5). Este dibujo contiene más información útil que el grabado mismo: la figura es simétrica especular de la del grabado, es decir, idéntica a la de la plancha matriz, que resulta luego reflejada en la reproducción en papel; y se apoya sobre una mesa cuyos bordes laterales fugan al mismo centro de perspectiva del poliedro, identificado con un ojo como era costumbre. Pues bien, el borde derecho de la mesa forma con la vertical precisamente el ángulo β del romboedro de 72º. La pendiente de esta recta debía haber sido la que se diera a la arista AB y a sus paralelas, señaladas con flechas sobre el dibujo. Y sin embargo, Durero las trazó perpendiculares a ella. ¿Por qué?
Para dibujar paralelas con una inclinación dada, en aquella época se solía construir un cartabón con el ángulo necesario, como el que he dibujado coincidiendo con los bordes frontal y derecho de la mesa, con el ángulo recto arriba. Como uno de ángulos agudos del cartabón debía serβ=42,7434º, el otro será necesariamente su complementario, β’=47,2566º. Ambos ángulos son muy parecidos, el cartabón era casi una escuadra: tomar un ángulo por el otro entra en lo posible. Y es lo que ocurrió, porque es evidente que el ángulo de AB con la vertical es β’ y no β.
Pero nosotros ahora sabemos que con el ángulo contrario se llega al romboedro de 79º, cuya truncadura, por el punto C, es mucho menor que la del de 72º. En ese momento descubrió Durero que la cosa iba mal, sin poder explicarse por qué, y que iría a peor si truncara en C. Dibujó pues a sentimiento la cara triangular superior bastante por debajo de ese punto, y subió también a ojo la base inferior para que aquello se pareciera al modelo que tenía delante. La figura así amañada parece correcta, pero el poliedro no se inscribe ya en la esfera. El lector puede compararlo con los de la figura 4, dibujados con la misma perspectiva y a igual escala.
Confieso que descubrir que la solución del enigma estaba en un error del propio Durero me resultó difícil de aceptar, como quizá ocurra también al lector, porque, al igual que la mayoría, con base en los datos históricos, hemos dado por supuesta la coherencia entre la teoría y la obra. Pero quien más cerca estuvo de la verdad fue quien se atuvo a la realidad geométrica de la figura, dejando al futuro la explicación que aquí ofrezco. Pero queda todavía un interrogante: ¿por qué incluyó Durero el poliedro en su grabado, sabiendo que su trazado era defectuoso? Porque, me atrevo a aventurar, no encontrando la causa de su error, su intención no fue representar alegóricamente la melancolía como estado de ánimo, sino expresar su personal melancolía por medio del alado personaje que contempla con tristeza la imperfecta figura, mientras a sus pies, olvidada, aparece la esfera perfecta.
Un romboedro truncado es un poliedro que se obtiene al truncar las aristas de un romboedro. Un romboedro es un poliedro compuesto por seis caras que son rombos congruentes. Estos rombos están dispuestos en pares, y cada par comparte una arista común. El romboedro truncado conserva esta estructura básica, pero se le han eliminado las partes puntiagudas de las aristas, creando nuevas caras planas.
El romboedro truncado tiene 14 caras, que consisten en 8 triángulos equiláteros y 6 cuadrados. Los triángulos equiláteros se forman al truncar las esquinas del romboedro original, mientras que los cuadrados se forman al truncar las aristas.
Este poliedro tiene 24 aristas y 12 vértices. Cada vértice está conectado a cuatro aristas y forma un triángulo equilátero con tres de los vértices adyacentes.
El romboedro truncado es un caso particular de los poliedros de Arquímedes y se considera uno de los sólidos de Platón. Tiene propiedades simétricas interesantes y se utiliza en diversos contextos matemáticos y de diseño.
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